Pengenalan tentang Persamaan Garis
Persamaan garis adalah salah satu topik yang sering dibahas dalam matematika, terutama pada tingkat sekolah menengah. Persamaan garis digunakan untuk menggambarkan garis lurus pada koordinat kartesian, sehingga sangat penting untuk dipelajari bagi siapa saja yang ingin memahami dasar-dasar matematika.
Secara umum, persamaan garis adalah sebuah persamaan matematika yang dapat digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada sebuah garis lurus di dalam koordinat kartesian. Persamaan ini biasanya dinyatakan dalam bentuk y = mx + c, dimana y dan x adalah koordinat titik pada garis, m adalah nilai gradien atau kemiringan garis, dan c adalah nilai konstanta.
Ada beberapa jenis persamaan garis yang sering dipelajari, di antaranya adalah persamaan garis yang melalui dua titik, persamaan garis yang melalui satu titik dan bergradien, dan persamaan garis yang berbentuk umum. Namun, pada artikel ini kita akan membahas tentang persamaan garis yang melalui titik 3 dan bergradien.
Persamaan garis yang melalui titik 3 dan bergradien, seperti namanya, adalah persamaan garis yang melalui titik dengan koordinat (x1, y1) = (3, a), dan memiliki gradien m. Persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y – y1 = m(x – x1), dimana nilai y1, x1 dan m dapat diketahui.
Untuk menemukan persamaan garis yang melalui titik 3 dan bergradien, kita perlu mengetahui nilai m terlebih dahulu. Nilai m atau gradien dapat ditemukan dengan menggunakan rumus gradien, yaitu (y2 – y1) / (x2 – x1), dimana (x1, y1) dan (x2, y2) adalah koordinat dari dua titik yang dilalui oleh garis tersebut.
Setelah kita mengetahui nilai m atau gradien, kita dapat menggantikan nilai x1, y1 dan m ke dalam persamaan y – y1 = m(x – x1) untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik 3 dan bergradien. Sebagai contoh, jika kita ingin menemukan persamaan garis yang melalui titik (3, 4) dan memiliki gradien -2, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:
1. Tentukan nilai x1 dan y1
x1 = 3
y1 = 4
2. Temukan nilai m atau gradien
m = -2
3. Gantikan nilai x1, y1 dan m ke dalam persamaan y – y1 = m(x – x1)
y – 4 = -2(x – 3)
4. Vereifikasi persamaan yang telah ditemukan dengan mengecek beberapa titik lain yang dilalui oleh garis tersebut.
Persamaan garis yang melalui titik 3 dan bergradien sangat berguna dalam memecahkan masalah matematika yang melibatkan garis lurus. Dengan memahami cara menemukan persamaan garis tersebut, kita dapat dengan mudah menentukan gradien, titik yang dilalui oleh garis, dan persamaan garis lainnya. Selain itu, persamaan garis juga berguna dalam berbagai aplikasi dunia nyata, seperti dalam bidang survey, fisika, dan teknik sipil. Dengan keterampilan untuk menghitung persamaan garis, kita akan lebih siap untuk menghadapi berbagai masalah matematika dan mempersiapkan diri untuk masa depan yang lebih baik.
Cara Menemukan Persamaan Garis yang Melalui Titik 3
Menemukan persamaan garis yang melalui titik 3 sangatlah mudah, dengan menggunakan rumus gradient, persamaan garis dapat ditentukan. Berikut adalah cara menemukan persamaan garis yang melalui titik 3:
Menghitung Gradien atau Kemiringan Garis
Pertama-tama, kita harus mengetahui gradien atau kemiringan garis. Gradien atau kemiringan garis dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
m = y2 – y1 / x2 – x1
Di mana:
- m adalah gradien atau kemiringan garis
- y2 adalah koordinat Y pada titik kedua
- y1 adalah koordinat Y pada titik pertama
- x2 adalah koordinat X pada titik kedua
- x1 adalah koordinat X pada titik pertama
Jika garis melalui titik 3, maka kita perlu mengetahui gradien atau kemiringan garis dengan menggunakan titik lain yang melalui garis tersebut. Kita bisa menggunakan titik pertama atau titik kedua sebagai titik yang digunakan untuk menghitung gradien atau kemiringan garis.
Menentukan Persamaan Garis dengan Gradien dan Titik yang Diberikan
Setelah kita mengetahui gradien atau kemiringan garis, kita bisa menentukan persamaan garis dengan menggunakan rumus:
y = mx + c
Di mana:
- y adalah garis vertikal yang menerobos titik
- m adalah gradien atau kemiringan garis
- x adalah garis horizontal yang melintasi titik
- c adalah intercept atau perpotongan dengan sumbu Y
Untuk menentukan intercept atau perpotongan dengan sumbu Y dari persamaan garis, kita bisa menggunakan salah satu titik yang melalui garis sebagai referensi. Dalam hal ini, titik 3 yang melalui garis kita wajib digunakan sebagai referensi untuk menentukan intercept. Kita bisa menggunakan rumus:
c = y – mx
Di mana:
- c adalah intercept
- y adalah koordinat Y titik pada persamaan garis
- m adalah gradien atau kemiringan garis
- x adalah koordinat X titik pada persamaan garis
Dengan menggunakan rumus ini, kita sudah bisa menentukan persamaan garis yang melalui titik 3 dengan sangat mudah.
Dengan menggunakan cara di atas, kita bisa menentukan persamaan garis yang melalui titik 3 dengan sangat mudah. Dibutuhkan ketelitian dalam perhitungan gradien atau kemiringan garis dan juga intercept atau perpotongan dengan sumbu Y supaya hasil yang didapatkan akurat sesuai yang diinginkan.
Cara Menemukan Persamaan Garis yang Melalui Titik 3 dan Bergradien adalah
Jika garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) memiliki gradien m, maka persamaan garisnya adalah:
y – y1 = m(x – x1)
Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik 3 dan gradiennya adalah m, kita perlu tahu koordinat titik 3. Setelah menentukan koordinat titik 3, kita bisa mengganti nilai x1 dan y1 sesuai dengan koordinat titik 3 dan m sesuai dengan gradien yang diinginkan ke dalam persamaan tersebut.
Berikut adalah langkah-langkah cara menemukan persamaan garis yang melalui titik 3 dan bergradien adalah m:
1. Ketahui Koordinat Titik 3
Pertama-tama, tentukan koordinat titik 3 yang ingin dibuat persamaannya. Setiap titik pada koordinat kartesian terdiri dari dua nilai, yaitu nilai x dan nilai y.
Contoh: Apabila ingin menemukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan memiliki gradien 1, maka nilai x1=2 dan nilai y1=3.
2. Tentukan Gradien Garis
Untuk menentukan gradiennya, gunakan rumus:
Misalnya gradiennya adalah 1, maka:
3. Substitusikan Nilai yang Diketahui ke dalam Rumus Persamaan Garis
Saat ini, kita telah mengetahui nilai x1, y1 dan m, substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
y – y1 = m(x – x1)
Sehingga persamaan garis yang melalui titik 3 dan bergradien m adalah:
Contoh: Apabila ingin menemukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan memiliki gradien 1, maka substitusikan nilai x1=2, y1=3, dan m=1 ke dalam persamaan y – y1 = m(x – x1):
y – 3 = 1(x – 2)
y – 3 = x – 2
y = x + 1
4. Cek Hasil dengan Grafik
Akhirnya, anda dapat memplot hasil persamaan garis yang dihasilkan dengan menggunakan grafik atau aplikasi visualisasi lainnya untuk memastikan bahwa persamaan garis yang dibuat sesuai dengan keinginan anda.
Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, anda dapat dengan mudah menemukan persamaan garis yang melalui titik 3 dan bergradien adalah m. Semoga artikel ini dapat membantu anda dalam menyelesaikan permasalahan tentang persamaan garis.
Langkah-langkah Mencari Persamaan Garis yang Melalui Titik 3 dan Bergradien
Garis adalah kumpulan titik yang terhubung. Sebuah garis didefinisikan oleh dua karakteristik yaitu gradien dan titik. Gradien mencerminkan kemiringan garis sementara titik menunjukkan lokasi titik pertama yang dilalui oleh garis tersebut. Ketika sebuah garis diketahui titiknya dan gradiennya, maka persamaannya dapat dicari dengan Langkah-langkah Mencari Persamaan Garis yang Melalui Titik 3 dan Bergradien. Berikut adalah langkah-langkahnya.
1. Tentukan Gradien
Gradien menunjukkan kemiringan garis. Dalam persamaan garis y = mx + c, nilai m adalah gradiennya. Gradien dihitung dengan membagi perubahan y dengan perubahan x. Perubahan y didapatkan dengan mengurangi nilai y titik kedua dengan titik pertama. Sementara perubahan x didapatkan dengan mengurangi nilai x titik kedua dengan titik pertama. Tanda pangkat diberikan pada gradien sesuai dengan arah kemiringan garis. Jika garis miring ke atas maka gradiennya positif. Sedangkan jika garis miring ke bawah maka gradiennya negatif. Gradien yang melalui titik 3 dapat diketahui dengan menggunakan titik tersebut dan titik lain yang diketahui.
2. Tentukan Titik yang Dilewati oleh Garis
Langkah kedua adalah menentukan titik yang dilewati garis. Karena persamaan yang dicari harus melalui titik 3, maka titik 3 inilah titik yang harus digunakan. Informasi titik ini sangat penting untuk menemukan konstanta pada persamaan garis y = mx + c. Konstanta atau nilai c adalah angka yang mewakili jarak garis dari sumbu y ketika garis melalui titik 3. Nilai c dapat dicari dengan memasukkan nilai m dan koordinat titik ke dalam persamaan garis.
3. Tentukan Persamaan Garis
Setelah gradien dan titik yang dilalui garis diketahui, langkah selanjutnya adalah menentukan persamaan garis tersebut. Persamaan garis dapat dicari dengan menggabungkan gradien, titik dan konstanta pada persamaan garis y = mx + c. Setelah persamaan garis ditemukan, kita dapat memplot persamaan garis tersebut pada koordinat untuk memperlihatkan bentuk garis dan lebih memahami sifatnya.
4. Contoh Soal
Sebagai contoh, tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 5) dan gradiennya −2.
Langkah 1: Tentukan nilai gradien dengan menggunakan informasi yang diberikan.
m = −2
Langkah 2: Tentukan nilai konstanta dengan menggunakan informasi titik yang dilewati oleh garis.
y = mx + c
5 = −2(3) + c
5 = −6 + c
c = 11
Langkah 3: Dapatkan persamaan garis dengan menggabungkan gradien dan konstanta pada persamaan garis.
y = mx + c
y = −2x + 11
Langkah-langkah Mencari Persamaan Garis yang Melalui Titik 3 dan Bergradien merupakan prosedur mudah untuk menentukan persamaan sebuah garis. Dari hasil perhitungan, kita dapat mengetahui titik tersebut letaknya pada sumbu x atau y, seberapa curam atau landai garis dan di mana garis tersebut melewati sumbu y. Dengan mengetahui sifat-sifat garis ini, kita dapat menerapkan banyak pengetahuan matematika dan fisika dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh Soal Persamaan Garis yang Melalui Titik 3 dan Bergradien
Persamaan garis linear merupakan salah satu materi yang harus dikuasai bagi siswa di level SMA. Ada banyak jenis soal yang bisa diberikan dalam mata pelajaran ini, salah satunya adalah contoh soal persamaan garis yang melalui titik 3 dan bergradien. Pada artikel ini kita akan membahas tentang contoh soal ini secara lengkap. Mari kita simak.
Contoh Soal 1
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 4) dan bergraden -2.
Pertama-tama, kita akan menggunakan rumus persamaan garis y-y1 = m(x-x1) dengan m sebagai gradien dan (x1, y1) sebagai titik yang diberikan. Di sini, m = -2 dan (x1, y1) = (3, 4).
Substitusikan nilai yang kita tahu ke dalam persamaan: y-4 = -2(x-3).
Setelah itu, ubah bentuk persamaan ke dalam bentuk umum y=mx+c: y = -2x +10.
Contoh Soal 2
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (5, -2) dan yang juga melalui titik (-3, 4).
Pertama, carilah nilai gradien m menggunakan rumus [(y2-y1)/(x2-x1)]. Ditanya adalah jalur yang lewat pada titik 1 (5, -2) dan titik 2 (-3, 4).
Jadi kita dapat menghitung gradiennya: (-2-4)/(5-(-3)) = (-6)/(8) = -3/4.
Setelah itu, substitusikan nilai yang diketahui y-y1 = m(x-x1) dengan (x1, y1) = (5, -2).
Substitusikan nilai gradien yang telah kita peroleh ke dalam persamaan: y+2 = -3/4(x-5).
Ubah bentuk persamaannya ke dalam bentuk umum y=mx+c: y = -3/4x +17/4.
Contoh Soal 3
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 6) dan paralel dengan garis y=5x-3.
Secara sederhana, kita dapat menentukan gradien dengan membandingkan persamaan dengan bentuk umum y=mx+c. Kita dapat melihat bahwa gradien garis y=5x-3 adalah 5.
Perlu diingat bahwa garis yang paralel memiliki gradien yang sama. Jadi, gradien garis yang melalui titik (3, 6) adalah 5.
Substitusikan titik yang diketahui dan gradien ke dalam persamaan garis y-y1 = m(x-x1), dan tentukan persamaan garisnya: y-6 = 5(x-3).
Ubah bentuk persamaan ke dalam bentuk umum: y = 5x – 9.
Contoh Soal 4
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, 7) dan tegak lurus terhadap garis y = 2x – 5.
Untuk menentukan gradien tegak lurus, kita perlu mengetahui gradien garis yang ada. Dalam kasus ini, gradiennya adalah 2. Karena gradien garis tegak lurus adalah negatif inversi dari gradiennya, maka gradien garis tegak lurus dalam kasus ini adalah -1/2.
Substitusikan titik yang diketahui dan gradien ke dalam persamaan garis y-y1 = m(x-x1), dan tentukan persamaan garisnya: y-7 = -1/2(x-4).
Ubah persamaan ke dalam bentuk umum: y = -1/2x + 9.
Contoh Soal 5
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 5) dan (3,6).
Pertama-tama, kita harus menemukan gradien m. Gradien (slope) dari suatu garis adalah perubahan y dibagi perubahan x yaitu (y2 – y1) / (x2 – x1). Dalam kasus ini y2 adalah 6, y1 adalah 5, x2 adalah 3, dan x1 adalah 2. Maka gradiensnya menjadi (6-5) / (3-2) = 1/1 = 1.
Kedua, gunakan salah satu titik beserta gradien untuk menentukan persamaan garisnya. Kita bisa gunakan (2,5). Substitusikan titik tersebut dan gradien ke dalam persamaan garis y-y1 = m(x-x1) dan nekan persamaannya: y – 5 = 1(x-2).
Ubah persamaan garis tersebut ke dalam bentuk umum y=mx+c: y=x+3.
Demikian contoh soal persamaan garis yang melalui titik 3 dan bergradien yang bisa disampaikan. Pelajari dan latihanlah soal-soal yang ada agar dapat menguasai materi ini dengan baik.
