Pengertian Angka Prima
Angka prima adalah bilangan asli yang hanya bisa dibagi dengan angka 1 dan angka itu sendiri. Maksudnya, sebuah angka prima tidak memiliki faktor pembagi selain 1 dan dirinya sendiri. Misalnya, angka 3, 5, 7, 11, 13, dan seterusnya merupakan angka prima. Sedangkan angka 4, 6, 8, 9, 10, dan seterusnya bukanlah angka prima karena memiliki faktor pembagi selain 1 dan dirinya sendiri.
Meskipun angka prima termasuk dalam kategori bilangan bulat positif, angka ini menjadi sangat penting karena memiliki sifat-sifat matematis yang unik. Sejak zaman kuno, para perintis matematika telah mendasarkan banyak teori dan masalah matematika pada sifat-sifat angka prima.
Contohnya, Teorema Bilangan Prima menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif bisa diuraikan sebagai hasil kali dari sejumlah angka prima. Jadi, angka prima sangat penting dalam studi terkait pembagian dan faktorisasi bilangan.
Angka prima juga dapat ditemukan di seluruh ruang pengetahuan seperti dalam komputer, kriptografi, statistik, biologi, dan lain-lain. Dalam pengolahan data di komputer, angka prima khususnya dipakai untuk menghasilkan bilangan acak yang berkualitas tinggi sehingga pencarian informasi di internet dan konektivitas antara perangkat yang saling terhubung dapat berlangsung dengan lebih aman dan efektif.
Dalam ilmu kriptografi, angka prima juga memainkan peran penting sebagai kunci dalam penyandian dan pengamanan data sensitif seperti informasi keuangan, medis, dan pribadi. Kemampuan angka prima untuk memiliki beberapa faktorisasi yang tidak dengan mudah ditemukan atau dihitung menjadi daya tarik utamanya.
Kedua sifat di atas tentu membuat angka prima popular di dunia matematika. Namun demikian, tidaklah mudah untuk menemukan angka prima yang besar dengan cepat. Saat ini, para matematikawan dan ahli komputer memanfaatkan teknologi komputer canggih dan algoritme yang kompleks untuk menyelesaikan masalah-masalah seputar angka prima.
Cara Mencari Faktor dari Sebuah Bilangan
Faktor bilangan merupakan bilangan yang apabila dikalikan hasilnya sama dengan bilangan asal. Misalnya, faktor dari 12 adalah 2,3,4, dan 6, karena 2 x 6 = 12 dan 3 x 4 = 12. Dalam kasus anda ingin mengetahui hasil dari 2 3 4 7 adalah, maka anda perlu mencari faktor masing-masing bilangan tersebut terlebih dahulu.
Cara Mencari Faktor Bilangan 2
Bilangan 2 merupakan bilangan prima, yakni bilangan yang hanya memiliki dua faktor. Faktor bilangan 2 adalah 1 dan bilangan itu sendiri, yaitu 2. Oleh karena itu, apabila anda ingin mengalikan angka 2 dengan bilangan lain, hasilnya tentu saja akan sama dengan bilangan tersebut. Misalnya, 2 x 5 = 10 dan 2 x 9 = 18.
Namun, jika anda ingin mencari faktor dari bilangan selain 2, caranya adalah dengan membagi bilangan tersebut dengan bilangan-bilangan yang lebih kecil daripada bilangan tersebut, dan mencatat bilangan yang membentuk hasil bagi. Misalnya, jika kita ingin mencari faktor dari bilangan 12, kita dapat membagi bilangan 12 dengan bilangan-bilangan yang lebih kecil seperti 1,2,3,4, dan sebagainya. Kemudian dicatat bilangan-bilangan yang membentuk hasil bagi. Dalam kasus 12, faktor bilangan 12 adalah 1,2,3,4,6, dan 12
Mengingat bilangan 2 merupakan bilangan prima, maka faktorisasi bilangan 2 sama saja dengan hanya mencatat bilangan 1 dan bilangan itu sendiri.
Cara Mencari Faktor Bilangan 3
Bilangan 3 juga termasuk bilangan prima, sehingga faktor bilangan ini hanya memiliki dua bilangan saja. Faktor bilangan 3 merupakan bilangan 1 dan bilangan itu sendiri, yaitu 3. Untuk mencari faktor bilangan lainnya, langkahnya hampir sama dengan langkah mencari faktor bilangan 2, yakni dengan membagi bilangan dengan bilangan-bilangan yang lebih kecil daripada bilangan tersebut dan mencatat bilangan-bilangan yang membentuk hasil bagi. Sebagai contoh, jika kita ingin mencari faktor dari bilangan 15, maka kita dapat membagi bilangan-bilangan seperti 1,2,3,4,5, dan sebagainya. Dalam kasus 15, faktor bilangan 15 adalah 1,3,5, dan 15.
Cara Mencari Faktor Bilangan 4
Bilangan 4 bukanlah bilangan prima, dengan demikian faktor bilangan ini lebih dari 2. Hingga sekarang, kita sudah mencatat faktor bilangan 2. Oleh karena itu, kita dapat mencari faktor bilangan 4 dengan membagi bilangan tersebut dengan faktor bilangan 2 yang sudah kita ketahui sebelumnya, yakni bilangan 1, 2, dan 4. Dalam kasus bilangan 4, faktor bilangannya adalah 1, 2, dan 4, karena 4 dibagi dengan bilangan-bilangan tersebut menghasilkan angka bulat.
Cara Mencari Faktor Bilangan 7
Bilangan 7 juga termasuk bilangan prima, sehingga faktor bilangan ini hanya memiliki dua faktor yakni bilangan 1 dan bilangan itu sendiri, yakni 7.
Meski demikian, terdapat keteraturan terkait faktor bilangan primer. Setiap bilangan prima lebih dari 3 selalu memiliki pola 6n+1 atau 6n-1 dengan n sebagai bilangan bulat positif. Hal ini berarti faktor bilangan prima dengan bilangan lebih besar dari 3 selalu berupa 6k±1, dengan k sebagai bilangan bulat.
Untuk bantuan lebih lanjut dalam menemukan faktor bilangan, tersedia banyan aplikasi kalkulator faktorisasi bilangan yang tersedia di play store. Anda dapat mengunduh aplikasi kalkulator ini untuk memudahkan anda dalam mencari faktor bilangan.
Hasil Perkalian Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh angka 1 dan dirinya sendiri. Beberapa contoh bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. Di Indonesia, menghitung hasil perkalian bilangan prima seperti 2, 3, 4, dan 7 bisa digunakan untuk berbagai keperluan seperti kriptografi, matematika, dan ilmu pengetahuan lainnya.
Angka 2
2 adalah bilangan prima pertama. Hasil perkaliannya adalah 2, karena 2 kalinya 1 adalah 2. Angka 2 sangat penting dalam teori bilangan, karena banyak konsep yang berkaitan dengan angka ini. Misalnya, angka prima dikatakan hanya bisa dibagi oleh angka 1 dan dirinya sendiri saja. Bilangan genap seperti angka 2, terdiri dari 2 faktor ganjil dan genap, yaitu 1 dan 2.
Angka 3
Angka 3 juga termasuk bilangan prima. Hasil perkalian 2 dan 3 adalah 6, suatu angka yang juga penting dalam matematika dasar. Angka 6 adalah bilangan yang memiliki 4 faktor, yaitu 1, 2, 3, dan 6. Selain itu, menghitung pangkat dari angka 3 juga sering digunakan dalam teori bilangan, seperti dalam Teorema Sisa Euler dan Teorema Sisa Chinese.
Teorema Sisa Euler menyatakan bahwa jika a dan m adalah bilangan bulat positif yang relatif prima, maka: a pangkat phi(m) modulo m = 1, di mana phi(m) adalah fungsi phi Euler yang menghitung jumlah bilangan bulat relatif prima dengan m yang kurang dari m itu sendiri. Contoh, jika m = 4, hanya ada satu bilangan relatif prima dengan 4, yaitu angka 1. Oleh karena itu, phi(4) = 1 dan 3 pangkat phi(4) modulo 4 = 3^1 modulo 4 = 3 modulo 4 = 3.
Teorema Sisa Chinese juga berkaitan dengan angka 3 dan sisa bagi. Teorema ini menyatakan bahwa jika m1, m2, …, mn adalah bilangan bulat positif yang saling relatif prima, maka sistem persamaan modulo dapat diselesaikan dengan menghitung:
x = a1M1y1 + a2M2y2 + … + anMny\n,
di mana x adalah nilai dari sistem persamaan modulo, ai adalah term pada persamaan, Mi = m1m2…mn/mi, dan yi adalah bilangan bulat yang memenuhi Mi yi modulo mi = 1. Contoh, untuk persamaan modulo 3 dan 4, 11 dan 13, maka nilai M1 = 4x3x11x13 = 1716, M2 = 3x4x11x13 = 1716, dan M3 = 4x3x11x13 = 1716. Maka, sistem persamaan modulo x = 2 modulo 3, x = 3 modulo 4, dan x = 5 modulo 11 dapat diselesaikan dengan menghitung: x = 2xM1x1 + 3xM2x1 + 5xM3x2 = 9414.
Angka 4
Angka 4 bukanlah bilangan prima, karena dapat dibagi oleh 2 selain dirinya sendiri dan 1. Namun, hasil perkalian 2 dan 2 adalah 4, sehingga bisa dikatakan sebagai hasil dari perkalian 2 bilangan prima. Angka 4 juga bisa dibagi oleh bilangan segitiga, yaitu bilangan yang berbentuk segitiga, seperti 1, 3, 6, 10, dan seterusnya. Misalnya, angka 4 adalah hasil dari bilangan segitiga ke-2. Keberadaan bilangan segitiga ini juga berkaitan dengan pembagian barang menjadi 3 bagian untuk dijual dengan harga yang sama
Angka 7
Angka 7 adalah bilangan prima terakhir yang menjadi faktor dari 4 angka sebelumnya. Hasil perkalian 2, 3, 4, dan 7 adalah 168. Angka ini juga merupakan hasil perkalian dari bilangan segitiga ke-14, yaitu 14x(14+1)/2 = 105. Bilangan 105 juga termasuk bilangan composit, artinya bisa dibagi oleh bilangan selain 1 dan dirinya sendiri, dan faktorisasinya adalah 3x5x7. Selain itu, angka 7 juga memiliki arti dalam beberapa budaya, seperti dalam agama Islam yang memiliki 7 harimunegara dan dalam kepercayaan Hindu-Buddha yang memiliki 7 cakra.
Hubungan antara bilangan prima dengan bilangan komposit
Bilangan prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi dengan 1 dan dengan dirinya sendiri. Sedangkan bilangan komposit adalah bilangan yang memiliki faktor selain 1 dan dirinya sendiri.
Dalam matematika, bilangan prima dan bilangan komposit memiliki hubungan yang erat. Sebagai contoh, hasil dari 2 3 4 7 adalah sebuah bilangan komposit.
Untuk memahami lebih lanjut mengenai hubungan antara bilangan prima dengan bilangan komposit, maka perlu diketahui tentang faktorisasi prima atau faktorisasi prima desimal.
Faktor prima desimal adalah kelompok bilangan prima yang bila dikalikan hasilnya sama dengan bilangan yang diberikan. Sebagai contoh, faktorisasi prima dari 210 adalah sebagai berikut:
210 = 2 x 3 x 5 x 7
Hasil dari faktorisasi prima tersebut menunjukkan bahwa 210 itu terbentuk dari perkalian empat bilangan prima. Selain itu, faktorisasi prima juga berguna untuk menentukan bilangan prima atau komposit dari sebuah bilangan.
Dalam faktorisasi prima, bilangan yang memiliki faktor prima tunggal atau hanya terdiri dari satu bilangan prima disebut bilangan prima. Sedangkan bilangan yang memiliki faktor prima lebih dari satu disebut bilangan komposit.
Contoh:
28 = 2 x 2 x 7, maka 28 merupakan bilangan komposit.
13 = 13, maka 13 merupakan bilangan prima.
Berdasarkan penjelasan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa bilangan prima dan bilangan komposit memiliki hubungan yang erat. Jika sebuah bilangan memiliki faktor prima lebih dari satu, maka bilangan tersebut adalah bilangan komposit. Sebaliknya, jika sebuah bilangan hanya memiliki faktor prima tunggal, maka bilangan tersebut adalah bilangan prima.
Dalam matematika, bilangan prima juga memiliki peranan penting dalam kriptografi atau ilmu yang mempelajari mengenai pengamanan komunikasi. Bilangan prima digunakan sebagai dasar pembentukan algoritma kriptografi yang dapat menghasilkan kode yang sulit untuk dibaca oleh orang lain.
Oleh karena itu, pemahaman yang baik mengenai bilangan prima dan bilangan komposit sangat diperlukan bukan hanya untuk memahami konsep matematika yang lebih kompleks, tapi juga untuk kehidupan sehari-hari kita.
Contoh Soal Tentang Bilangan Prima dan Komposit
Bilangan prima adalah bilangan asli yang memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Sedangkan bilangan komposit adalah bilangan asli yang memiliki lebih dari dua faktor. Bilangan 1 bukan termasuk bilangan prima maupun bilangan komposit. Berikut adalah beberapa contoh soal tentang bilangan prima dan komposit.
Contoh Soal 1:
Bilangan prima lebih kecil dari 20 adalah ….
Jawaban:
Bilangan prima yang lebih kecil dari 20 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, dan 19.
Contoh Soal 2:
Tentukan bilangan prima atau bilangan komposit dari bilangan berikut: 25
Jawaban:
Bilangan 25 bukan bilangan prima, karena memiliki tiga faktor yaitu 1, 5, dan 25. Oleh karena itu, bilangan 25 termasuk bilangan komposit.
Contoh Soal 3:
Tentukan dua bilangan prima yang berdekatan dari 50
Jawaban:
Bilangan prima yang berdekatan dari 50 adalah 47 dan 53, karena keduanya merupakan bilangan prima.
Contoh Soal 4:
Manakah dari bilangan 77 dan 97 yang merupakan bilangan prima?
Jawaban:
Bilangan 97 merupakan bilangan prima, karena hanya memiliki dua faktor yaitu 1 dan 97. Sedangkan bilangan 77 bukan bilangan prima, karena memiliki faktor selain 1 dan dirinya sendiri. Sehingga bilangan 77 termasuk bilangan komposit.
Contoh Soal 5:
Hitung hasil dari 2 x 3 x 4 x 7
Jawaban:
Untuk menghitung hasil dari 2 x 3 x 4 x 7, kita perlu menyederhanakan terlebih dahulu dengan menemukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari keempat bilangan tersebut, yaitu 2, 3, 4, dan 7. FPB dari keempat bilangan tersebut adalah 1. Selanjutnya, kita akan membagi masing-masing bilangan dengan FPB dan mengalikan hasil pembagian tersebut. Sehingga:
2 x 3 x 4 x 7 = (2 : 1) x (3 : 1) x (4 : 1) x (7 : 1) = 2 x 3 x 4 x 7 = 168
Jadi, hasil dari 2 x 3 x 4 x 7 adalah 168.
